Global EE

Задание 20 ОГЭ по математике №00038472

Задание №20. Уравнения, неравенства и их системы

Системы уравнений

№2. Задание 20

ID: 00038472

Решите систему уравнений ${\begin{cases}2x^{2} +4y^{2} =24, \\ 4x^{2} +8y^{2} =24x. \end{cases}$

Источник: ФИПИ

Решение

В обоих уравнениях есть квадраты обеих переменных, и подстановка «в лоб» приведёт к громоздким выкладкам. Посмотрим на коэффициенты — они подобраны специально.

Сравниваем левые части. Первая: 2x² + 4y². Вторая: 4x² + 8y² = 2·(2x² + 4y²), ведь 2·2x² = 4x² и 2·4y² = 8y². Значит левая часть второго уравнения — удвоенная левая часть первого.

Подставляем. По первому уравнению 2x² + 4y² = 24, поэтому 4x² + 8y² = 2·24 = 48. По второму уравнению та же величина равна 24x. Приравниваем: 24x = 48, откуда x = 2.

Ищем y. Подставляем x = 2 в первое уравнение: 2·2² + 4y² = 24, то есть 2·4 + 4y² = 24, 8 + 4y² = 24, 4y² = 16, y² = 4. Отсюда y = 2 или y = −2.

Проверка. Пара (2; 2): первое уравнение 2·4 + 4·4 = 8 + 16 = 24 — верно; второе 4·4 + 8·4 = 16 + 32 = 48 и 24·2 = 48 — верно. Пара (2; −2) даёт тот же y² = 4, поэтому тоже подходит.

Ответ

(2; 2), (2; −2)
Другие задания по теме «Системы уравнений» (8)