Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038461

Раскрывать четвёртую степень бинома — верный способ утонуть в вычислениях. Присмотрись: в уравнении дважды встречается одно и то же выражение (x + 3), причём в чётных степенях — четвёртой и второй. Это подсказка к замене переменной.

Вводим замену. Пусть t = (x + 3)². Тогда (x + 3)⁴ = ((x + 3)²)² = t². Важное ограничение: t — это квадрат, поэтому t ≥ 0.

Уравнение становится квадратным: t² + 2t − 8 = 0. Дискриминант D = 2² − 4·1·(−8) = 4 + 32 = 36, √D = 6, корни t = (−2 − 6)/2 = −4 и t = (−2 + 6)/2 = 2.

Отбираем корни по смыслу замены. Значение t = −4 не годится: квадрат не бывает отрицательным. Остаётся t = 2.

Возвращаемся к x: (x + 3)² = 2. Извлекаем корень, не забывая про два знака: x + 3 = √2 или x + 3 = −√2. Отсюда x = −3 + √2 и x = −3 − √2.

Прикинем численно: √2 ≈ 1,41, значит корни примерно −1,59 и −4,41.

Проверка. Подставим (x + 3)² = 2 в исходное уравнение: (x + 3)⁴ = 2² = 4, тогда 4 + 2·2 − 8 = 4 + 4 − 8 = 0 — верно, оба корня подходят.