ID: 00038458
Источник: ФИПИ
Уравнение третьей степени — готовой формулы корней у него нет. Спасает метод группировки: собираем слагаемые в пары так, чтобы из каждой вынести общий множитель и получить одинаковую скобку.
Переносим всё влево: x³ + 2x² − 9x − 18 = 0.
Группируем: (x³ + 2x²) − (9x + 18) = 0. Минус перед второй скобкой меняет знаки внутри неё — за этим надо следить.
Выносим общий множитель из каждой пары. Из первой пары x²: x³ + 2x² = x²(x + 2). Из второй пары 9: 9x + 18 = 9(x + 2). Получаем x²(x + 2) − 9(x + 2) = 0.
Выносим общую скобку: (x + 2)(x² − 9) = 0. Вторая скобка — разность квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Итого (x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: x + 2 = 0 → x = −2; x − 3 = 0 → x = 3; x + 3 = 0 → x = −3.
Проверка. При x = −2: слева −8 + 2·4 = −8 + 8 = 0, справа 9·(−2) + 18 = −18 + 18 = 0 — верно. При x = 3: слева 27 + 2·9 = 27 + 18 = 45, справа 9·3 + 18 = 27 + 18 = 45 — верно. При x = −3: слева −27 + 2·9 = −27 + 18 = −9, справа 9·(−3) + 18 = −27 + 18 = −9 — верно. Все три корня подходят.