Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038457

Слева сумма двух квадратов, справа ноль. Раскрывать квадраты не нужно — вылезет многочлен четвёртой степени. Решает рассуждение о знаках.

Ключевая идея. Квадрат любого выражения неотрицателен: он либо равен нулю, либо больше нуля. Сумма двух неотрицательных величин может дать ноль только в одном случае — когда каждая из них равна нулю.

Значит уравнение равносильно системе: x² − 25 = 0 и одновременно x² + 2x − 15 = 0.

Первое уравнение: x² = 25, откуда x = 5 или x = −5.

Второе уравнение: x² + 2x − 15 = 0, дискриминант D = 2² − 4·1·(−15) = 4 + 60 = 64, √D = 8, корни x = (−2 − 8)/2 = −5 и x = (−2 + 8)/2 = 3.

Пересекаем наборы. Первое уравнение дало {5; −5}, второе — {−5; 3}. Общее значение одно: x = −5.

Проверка. При x = −5: первая скобка (−5)² − 25 = 25 − 25 = 0; вторая скобка 25 + 2·(−5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0. Сумма квадратов 0² + 0² = 0 — верно. Для сравнения x = 5: первая скобка 0, вторая 25 + 10 − 15 = 20, сумма 0 + 400 = 400 ≠ 0 — не подходит.