Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038456

Если раскрыть все скобки, получится уравнение третьей степени, а формулы корней для него нет. Значит нужно разложить на множители. Присмотримся к трёхчлену во второй скобке.

Свёртываем полный квадрат. x² + 2x + 1 = (x + 1)² — это формула квадрата суммы. Уравнение принимает вид (x − 2)(x + 1)² = 4(x + 1).

Теперь и слева, и справа есть общий множитель (x + 1). Переносим всё влево: (x − 2)(x + 1)² − 4(x + 1) = 0. Сокращать на (x + 1) нельзя — потеряем корень; вместо этого выносим его за скобку: (x + 1)·[(x − 2)(x + 1) − 4] = 0.

Упрощаем квадратную скобку. (x − 2)(x + 1) = x² + x − 2x − 2 = x² − x − 2. Вычитаем 4: x² − x − 2 − 4 = x² − x − 6. Получаем (x + 1)(x² − x − 6) = 0.

Приравниваем множители к нулю. Первый: x + 1 = 0 → x = −1. Второй: x² − x − 6 = 0, дискриминант D = (−1)² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25, √D = 5, корни x = (1 − 5)/2 = −2 и x = (1 + 5)/2 = 3.

Проверка. При x = −1: слева (−1 − 2)·(1 − 2 + 1) = (−3)·0 = 0, справа 4·0 = 0 — верно. При x = −2: слева (−4)·(4 − 4 + 1) = (−4)·1 = −4, справа 4·(−1) = −4 — верно. При x = 3: слева 1·(9 + 6 + 1) = 16, справа 4·4 = 16 — верно. Все три корня подходят.