Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038450

Уравнение третьей степени. Формулы корней для кубического уравнения в школе нет, зато есть надёжный приём — группировка: собрать слагаемые в пары так, чтобы вылез общий множитель.

Переносим всё влево: x³ + 5x² − 4x − 20 = 0.

Группируем по парам: (x³ + 5x²) − (4x + 20) = 0. Обрати внимание на знак: минус перед скобкой меняет знаки обоих слагаемых внутри.

Выносим общий множитель из каждой пары. Из первой пары выносим x²: x³ + 5x² = x²(x + 5). Из второй выносим 4: 4x + 20 = 4(x + 5). Получаем: x²(x + 5) − 4(x + 5) = 0.

Выносим общую скобку (x + 5): (x + 5)(x² − 4) = 0.

Вторую скобку раскладываем по формуле разности квадратов: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Итого (x + 5)(x − 2)(x + 2) = 0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: x + 5 = 0 → x = −5; x − 2 = 0 → x = 2; x + 2 = 0 → x = −2.

Проверка. При x = −5: слева (−125) + 5·25 = −125 + 125 = 0, справа 4·(−5) + 20 = −20 + 20 = 0 — совпало. При x = 2: слева 8 + 5·4 = 8 + 20 = 28, справа 4·2 + 20 = 8 + 20 = 28 — совпало. При x = −2: слева −8 + 5·4 = −8 + 20 = 12, справа 4·(−2) + 20 = −8 + 20 = 12 — совпало. Все три корня верные.