Уравнения — Задание 20 ОГЭ по математике №00038449

Слева стоит сумма двух квадратов, справа ноль. Возводить скобки в квадрат бессмысленно — вылезет многочлен четвёртой степени. Здесь работает рассуждение о знаке.

Ключевая идея. Квадрат любого выражения неотрицателен. Сумма двух неотрицательных величин равна нулю только тогда, когда обе они равны нулю: стоит одной стать положительной, и сумма уже больше нуля.

Значит уравнение равносильно системе: x² − 9 = 0 и одновременно x² + x − 6 = 0.

Первое уравнение: x² = 9, откуда x = 3 или x = −3.

Второе уравнение: x² + x − 6 = 0, дискриминант D = 1² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25, √D = 5, корни x = (−1 − 5)/2 = −3 и x = (−1 + 5)/2 = 2.

Ищем общее. Первое уравнение дало {3; −3}, второе — {−3; 2}. Совпадает единственное значение: x = −3.

Проверка. При x = −3: первая скобка (−3)² − 9 = 9 − 9 = 0; вторая скобка 9 + (−3) − 6 = 9 − 3 − 6 = 0. Сумма квадратов равна 0 — верно. Для сравнения x = 3: первая скобка 0, вторая 9 + 3 − 6 = 6, сумма 0 + 36 = 36 ≠ 0 — не подходит.