ID: 00038448
Источник: ФИПИ
Слева — сумма двух квадратов, справа ноль. Возводить в квадрат и раскрывать скобки не нужно: получится многочлен четвёртой степени. Работает другое рассуждение.
Ключевая идея. Квадрат любого выражения неотрицателен: он либо ноль, либо больше нуля. Сумма двух таких неотрицательных чисел равна нулю только в одном случае — когда каждое из них равно нулю. Если бы хоть одно было положительным, сумма оказалась бы строго больше нуля.
Значит исходное уравнение равносильно системе: x² − 16 = 0 и одновременно x² + x − 12 = 0.
Решаем первое уравнение. x² = 16, откуда x = 4 или x = −4.
Решаем второе уравнение. x² + x − 12 = 0: дискриминант D = 1² − 4·1·(−12) = 1 + 48 = 49, √D = 7, корни x = (−1 − 7)/2 = −4 и x = (−1 + 7)/2 = 3.
Пересекаем ответы. Первое уравнение даёт {4; −4}, второе — {−4; 3}. Общее число только одно: x = −4. Именно оно обращает в нуль сразу обе скобки.
Проверка. Подставим x = −4: первая скобка (−4)² − 16 = 16 − 16 = 0; вторая скобка 16 + (−4) − 12 = 16 − 4 − 12 = 0. Сумма квадратов: 0² + 0² = 0 — верно. Проверим и лишний корень x = 4: первая скобка 0, вторая 16 + 4 − 12 = 8, сумма 0 + 64 = 64 ≠ 0 — не подходит, как и ожидалось.