Задание 20 ОГЭ по математике №00038443

В системе два уравнения, оба с квадратами — выражать y через x и подставлять было бы долго. Присмотримся к коэффициентам: во втором уравнении левая часть подозрительно похожа на левую часть первого, только увеличенную.

Сравниваем левые части. В первом уравнении слева 5x² + y², во втором — 10x² + 2y². Но 10x² + 2y² = 2·(5x² + y²): каждый коэффициент ровно вдвое больше. Значит вторая левая часть — это удвоенная первая.

Подставляем. Из первого уравнения 5x² + y² = 36, поэтому 10x² + 2y² = 2·36 = 72. А по второму уравнению это же выражение равно 36x. Приравниваем: 72 = 36x, откуда x = 2.

Ищем y. Подставляем x = 2 в первое уравнение: 5·2² + y² = 36, то есть 5·4 + y² = 36, 20 + y² = 36, y² = 16. Отсюда y = 4 или y = −4 — квадратный корень даёт два значения, оба нужно оставить.

Проверяем обе пары. Пара (2; 4): первое уравнение 5·4 + 16 = 20 + 16 = 36 — верно; второе 10·4 + 2·16 = 40 + 32 = 72 и 36·2 = 72 — верно. Пара (2; −4): квадрат y тот же, y² = 16, поэтому оба уравнения выполняются точно так же. Обе пары подходят.