Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038439

Слева дробь с переменной в знаменателе, справа — просто x. Умножать обе части на (x − 3) нельзя: мы не знаем, положительна эта скобка или отрицательна, а от этого зависит, переворачивать ли знак неравенства. Поэтому переносим всё в левую часть и приводим к одной дроби.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x − 3 ≠ 0, то есть x ≠ 3.

Переносим: x²/(x − 3) − x ≤ 0. Общий знаменатель — (x − 3). Числитель: x² − x·(x − 3) = x² − x² + 3x = 3x. Получаем 3x/(x − 3) ≤ 0.

Метод интервалов. Числитель обращается в нуль при x = 0 — эта точка закрашенная, потому что при x = 0 дробь равна нулю, а ноль условию «≤ 0» подходит. Знаменатель обращается в нуль при x = 3 — эта точка выколотая. Отмечаем на прямой 0 и 3.

Расставляем знаки. При x > 3 и числитель, и знаменатель положительны — дробь положительна. При 0 < x < 3 числитель положителен, знаменатель отрицателен — дробь отрицательна. При x < 0 оба отрицательны — дробь положительна.

Проверим счётом. При x = 1: 3·1/(1 − 3) = 3/(−2) = −1,5 < 0 — подходит. При x = 4: 12/1 = 12 > 0 — не подходит. При x = −1: (−3)/(−4) = 0,75 > 0 — не подходит. Сверимся и с исходным неравенством: при x = 1 слева 1/(1 − 3) = −0,5, справа 1; −0,5 ≤ 1 — верно.

Значит подходит промежуток от нуля (включая его) до тройки (не включая её).