ID: 00038438
Источник: ФИПИ
Это дробно-рациональное неравенство: дробь должна быть не больше нуля. Умножать обе части на знаменатель нельзя — его знак неизвестен. Но здесь есть удобный ход: числитель раскладывается на множители, и один из них совпадает со знаменателем.
Область допустимых значений. Знаменатель не должен обращаться в нуль: x − 3 ≠ 0, то есть x ≠ 3. Это ограничение нельзя терять — оно попадёт в ответ выколотой точкой.
Раскладываем числитель. Решаем x² − 8x + 15 = 0: дискриминант D = (−8)² − 4·1·15 = 64 − 60 = 4, √D = 2, корни x = (8 − 2)/2 = 3 и x = (8 + 2)/2 = 5. Значит x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5).
Сокращаем. Дробь принимает вид (x − 3)(x − 5)/(x − 3). При x ≠ 3 множитель (x − 3) можно сократить, и остаётся просто x − 5 ≤ 0.
Решаем: x ≤ 5. Теперь возвращаем ограничение ОДЗ: точку x = 3 нужно выколоть, хотя формально она в промежуток x ≤ 5 попадает.
Проверка по точкам. При x = 0: числитель 15, знаменатель −3, дробь равна −5 ≤ 0 — подходит. При x = 4: числитель 16 − 32 + 15 = −1, знаменатель 1, дробь −1 ≤ 0 — подходит. При x = 6: числитель 36 − 48 + 15 = 3, знаменатель 3, дробь 1 > 0 — не подходит. При x = 5: числитель 25 − 40 + 15 = 0, дробь равна 0 — подходит, ноль условию «≤ 0» удовлетворяет.
Итог: все числа, не превосходящие 5, кроме тройки.