Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038437

Слева — произведение двух квадратных трёхчленов, оно должно быть не больше нуля. Перемножать скобки нельзя: вылезет многочлен четвёртой степени. Правильный ход — разложить каждый трёхчлен на линейные множители и применить метод интервалов.

Первая скобка. Решаем x² + x − 42 = 0: дискриминант D = 1² − 4·1·(−42) = 1 + 168 = 169, √D = 13, корни x = (−1 − 13)/2 = −7 и x = (−1 + 13)/2 = 6. Значит x² + x − 42 = (x + 7)(x − 6).

Вторая скобка. Решаем x² + x − 12 = 0: D = 1² − 4·1·(−12) = 1 + 48 = 49, √D = 7, корни x = (−1 − 7)/2 = −4 и x = (−1 + 7)/2 = 3. Значит x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3).

Неравенство принимает вид: (x + 7)(x − 6)(x + 4)(x − 3) ≤ 0.

Все четыре множителя разные, каждый входит в первой степени. Отмечаем корни на числовой прямой по возрастанию: −7, −4, 3, 6. Точки закрашенные (неравенство нестрогое, ноль подходит). Прямая разбивается на пять промежутков.

Расставляем знаки. Справа от самого большого корня произведение положительно (все скобки положительны), и, поскольку все корни простые, при переходе через каждый знак меняется. Идём справа налево: на (6; +∞) плюс, на (3; 6) минус, на (−4; 3) плюс, на (−7; −4) минус, на (−∞; −7) плюс.

Проверим счётом. При x = 4: (16 + 4 − 42)·(16 + 4 − 12) = (−22)·8 = −176 < 0 — подходит. При x = 0: (−42)·(−12) = 504 > 0 — не подходит. При x = −5: (25 − 5 − 42)·(25 − 5 − 12) = (−22)·8 = −176 < 0 — подходит. При x = −8: (64 − 8 − 42)·(64 − 8 − 12) = 14·44 = 616 > 0 — не подходит.

Нам нужны промежутки со знаком «минус» плюс сами корни: это два отрезка — от −7 до −4 и от 3 до 6, концы включены.