ID: 00038436
Источник: ФИПИ
Слева произведение линейной скобки и квадратного трёхчлена, и оно должно быть не меньше нуля. Раскрывать скобки не надо — получится кубический многочлен. Разложим трёхчлен на линейные множители и разберёмся со знаками.
Раскладываем трёхчлен. Решаем x² + x − 30 = 0: дискриминант D = 1² − 4·1·(−30) = 1 + 120 = 121, √D = 11, корни x = (−1 − 11)/2 = −6 и x = (−1 + 11)/2 = 5. Значит x² + x − 30 = (x − 5)(x + 6).
Неравенство принимает вид: (5 − x)(x − 5)(x + 6) ≥ 0.
Ключевой шаг. Скобка (5 − x) — это тот же (x − 5), только со знаком минус: 5 − x = −(x − 5). Подставляем: −(x − 5)(x − 5)(x + 6) ≥ 0, то есть −(x − 5)²(x + 6) ≥ 0. Умножаем обе части на −1 и переворачиваем знак: (x − 5)²(x + 6) ≤ 0.
Множитель (x − 5)² — квадрат, а квадрат никогда не бывает отрицательным: он либо равен нулю (при x = 5), либо строго положителен. На знак произведения он не влияет, зато даёт отдельную точку.
Случай 1: x = 5. Тогда (x − 5)² = 0, всё произведение равно нулю, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет. Значит x = 5 входит в ответ.
Случай 2: x ≠ 5. Тогда (x − 5)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак сохраняется: x + 6 ≤ 0, откуда x ≤ −6.
Проверка по точкам для исходного выражения (5 − x)(x² + x − 30): при x = −7 → 12·(49 − 7 − 30) = 12·12 = 144 > 0 — подходит; при x = 0 → 5·(−30) = −150 < 0 — не подходит; при x = 6 → (−1)·(36 + 6 − 30) = (−1)·12 = −12 < 0 — не подходит; при x = 5 → 0 — подходит. Всё сходится.
Объединяем: вся часть прямой левее −6 вместе с самой точкой −6 и отдельно стоящая точка 5.