ID: 00038435
Источник: ФИПИ
Перед нами дробно-рациональное неравенство: слева и справа — дроби с переменной в знаменателе. Главное правило: на переменную умножать нельзя — мы не знаем её знак, а от знака зависит, переворачивать неравенство или нет. Поэтому всё переносим в одну сторону и приводим к общему знаменателю.
Область допустимых значений. Знаменатели не должны обращаться в нуль: x ≠ 0 и x − 4 ≠ 0, то есть x ≠ 4.
Переносим и вычитаем: 1/x − 1/(x − 4) ≥ 0. Общий знаменатель — x(x − 4). Числитель: 1·(x − 4) − 1·x = x − 4 − x = −4. Получаем −4 / (x(x − 4)) ≥ 0.
Числитель — постоянное число −4, оно всегда отрицательно. Дробь с отрицательным числителем неотрицательна только тогда, когда знаменатель тоже отрицателен (тогда «минус на минус» даёт плюс). Нулём такая дробь стать не может: числитель никогда не обращается в нуль. Значит нужно x(x − 4) < 0.
Решаем это неравенство. Слева парабола ветвями вверх с корнями 0 и 4; между корнями она лежит ниже оси. Получаем 0 < x < 4. Обрати внимание: концы не входят, они и по ОДЗ запрещены.
Проверим по точкам. При x = 1: слева 1/1 = 1, справа 1/(1 − 4) = −1/3; 1 ≥ −1/3 — верно, подходит. При x = 5: слева 1/5 = 0,2, справа 1/1 = 1; 0,2 ≥ 1 — неверно, не подходит. При x = −1: слева −1, справа 1/(−5) = −0,2; −1 ≥ −0,2 — неверно, не подходит. Всё сходится.