ID: 00038434
Источник: ФИПИ
Слева — произведение двух квадратных трёхчленов, и оно должно быть не больше нуля. Перемножать скобки нельзя: получится многочлен четвёртой степени, с которым ничего не сделать. Наоборот, каждый трёхчлен разложим на линейные множители — тогда знак произведения читается методом интервалов.
Первая скобка. Решаем x² − 3x − 10 = 0: дискриминант D = (−3)² − 4·1·(−10) = 9 + 40 = 49, √D = 7, корни x = (3 − 7)/2 = −2 и x = (3 + 7)/2 = 5. Значит x² − 3x − 10 = (x + 2)(x − 5).
Вторая скобка. Решаем x² − 8x + 15 = 0: D = (−8)² − 4·1·15 = 64 − 60 = 4, √D = 2, корни x = (8 − 2)/2 = 3 и x = (8 + 2)/2 = 5. Значит x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5).
Собираем неравенство заново: (x + 2)(x − 5)(x − 3)(x − 5) ≤ 0, то есть (x + 2)(x − 3)(x − 5)² ≤ 0.
Множитель (x − 5) встретился в обеих скобках и дал квадрат. Квадрат никогда не бывает отрицательным: он либо равен нулю (при x = 5), либо строго положителен. Поэтому на знак произведения он не влияет, но точку x = 5 нужно разобрать отдельно.
Случай 1: x = 5. Тогда (x − 5)² = 0, всё произведение равно нулю, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет. Значит x = 5 входит в ответ.
Случай 2: x ≠ 5. Тогда (x − 5)² > 0, и на это положительное число обе части можно разделить, знак неравенства сохранится: (x + 2)(x − 3) ≤ 0. Это парабола ветвями вверх с корнями −2 и 3, между корнями она лежит ниже оси. Получаем −2 ≤ x ≤ 3.
Проверка по точкам для исходного произведения: при x = 0 → (−10)·15 = −150 < 0 — подходит; при x = 4 → (16 − 12 − 10)·(16 − 32 + 15) = (−6)·(−1) = 6 > 0 — не подходит; при x = 6 → 8·3 = 24 > 0 — не подходит; при x = −3 → 8·48 = 384 > 0 — не подходит. Всё сходится.
Складываем оба случая: отрезок от −2 до 3 включительно плюс отдельно стоящая точка 5.