Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038433

Слева стоит произведение двух скобок, и оно должно быть не меньше нуля. Первая скобка линейная, вторая — разность квадратов, её сразу можно разложить. Раскрывать всё в многочлен третьей степени не нужно: работать будем с множителями и методом интервалов.

Раскладываем вторую скобку. x² − 81 — это разность квадратов: x² − 81 = x² − 9² = (x − 9)(x + 9). Неравенство становится таким: (9 − x)(x − 9)(x + 9) ≥ 0.

Ловим повторяющийся множитель. Скобка (9 − x) — это тот же (x − 9), только с обратным знаком: 9 − x = −(x − 9). Подставляем: −(x − 9)·(x − 9)(x + 9) ≥ 0, то есть −(x − 9)²(x + 9) ≥ 0.

Умножим обе части на −1. При умножении на отрицательное число знак неравенства переворачивается: (x − 9)²(x + 9) ≤ 0.

Вот ключевой момент. Множитель (x − 9)² — квадрат, а квадрат никогда не бывает отрицательным: он либо равен нулю (при x = 9), либо строго положителен. Значит на знак произведения он не влияет, но даёт отдельную точку.

Случай 1: x = 9. Тогда (x − 9)² = 0, всё произведение равно 0, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет. Значит x = 9 в ответ входит.

Случай 2: x ≠ 9. Тогда (x − 9)² > 0, и на это положительное число обе части можно разделить, знак сохранится: x + 9 ≤ 0, откуда x ≤ −9.

Проверим по точкам исходное выражение (9 − x)(x² − 81): при x = −10 получаем 19·(100 − 81) = 19·19 = 361 > 0 — подходит; при x = 0 получаем 9·(−81) = −729 < 0 — не подходит; при x = 10 получаем (−1)·(100 − 81) = −19 < 0 — не подходит; при x = 9 получаем 0 — подходит. Всё сходится.

Объединяем оба случая: подходит вся часть числовой прямой левее −9 вместе с самой точкой −9, и отдельно стоящая точка 9.