Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038431

Дана дробь (x² − 9x + 20)/(x − 4) ≤ 0. Начинаем с разложения числителя — он тут родственник знаменателя.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x − 4 ≠ 0, то есть x ≠ 4. Это ограничение обязано дожить до ответа, даже когда скобка сократится.

Раскладываем числитель. Решаем x² − 9x + 20 = 0: дискриминант D = (−9)² − 4·1·20 = 81 − 80 = 1, √D = 1, корни x = (9 − 1)/2 = 4 и x = (9 + 1)/2 = 5. Значит x² − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5). Неравенство принимает вид

(x − 4)(x − 5)/(x − 4) ≤ 0

Сокращаем с оговоркой. Раз x ≠ 4, скобка (x − 4) не равна нулю, и на неё можно сократить. Остаётся линейное неравенство

x − 5 ≤ 0, то есть x ≤ 5.

Но точку x = 4 выкалываем: в исходной дроби при x = 4 знаменатель обращается в нуль, выражение не существует.

Проверим по точкам. При x = 0: числитель 0 − 0 + 20 = 20, знаменатель −4, дробь −5 ≤ 0 — подходит. При x = 4,5: числитель 20,25 − 40,5 + 20 = −0,25, знаменатель 0,5, дробь −0,5 ≤ 0 — подходит. При x = 5: числитель 25 − 45 + 20 = 0, знаменатель 1, дробь 0 ≤ 0 — подходит. При x = 6: числитель 36 − 54 + 20 = 2, знаменатель 2, дробь 1 > 0 — не подходит. При x = 4 выражение не определено.

Итог: всё, что не больше 5, кроме выколотой точки 4.