ID: 00038430
Решите неравенство $(x^{2}+x-12)(x^{2}-9x+18)\geqslant 0$.
Источник: ФИПИ
Слева произведение двух квадратных трёхчленов, справа ноль. Раскрывать скобки не надо — разложим каждую на линейные множители и проверим, нет ли общего корня.
Первая скобка. Решаем x² + x − 12 = 0: дискриминант D = 1² − 4·1·(−12) = 1 + 48 = 49, √D = 7, корни x = (−1 − 7)/2 = −4 и x = (−1 + 7)/2 = 3. Значит x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3).
Вторая скобка. Решаем x² − 9x + 18 = 0: D = (−9)² − 4·1·18 = 81 − 72 = 9, √D = 3, корни x = (9 − 3)/2 = 3 и x = (9 + 3)/2 = 6. Значит x² − 9x + 18 = (x − 3)(x − 6).
Собираем неравенство: (x + 4)(x − 3)(x − 3)(x − 6) ≥ 0, то есть (x + 4)(x − 6)(x − 3)² ≥ 0.
Корень x = 3 общий у обеих скобок, поэтому множитель (x − 3) стоит в квадрате. Квадрат не бывает отрицательным: он равен нулю только при x = 3, в остальных точках положителен. Два случая.
Случай 1: x = 3. Тогда (x − 3)² = 0 и всё произведение равно нулю. Ноль удовлетворяет условию «≥ 0», значит x = 3 входит в ответ.
Случай 2: x ≠ 3. Тогда (x − 3)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак не меняется: (x + 4)(x − 6) ≥ 0. Парабола ветвями вверх с корнями −4 и 6 неотрицательна вне промежутка между корнями. Получаем x ≤ −4 или x ≥ 6.
Проверка по точкам для (x + 4)(x − 6)(x − 3)²: при x = −5 → (−1)·(−11)·64 = 704 > 0 — подходит; при x = 0 → 4·(−6)·9 = −216 < 0 — не подходит; при x = 3 → 0 — подходит; при x = 5 → 9·(−1)·4 = −36 < 0 — не подходит; при x = 7 → 11·1·16 = 176 > 0 — подходит.
Итог: два луча вместе с концами −4 и 6, а между ними — единственная подходящая точка 3.