Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038429

Слева произведение скобки (8 − x) и разности квадратов. Разложим вторую скобку и приведём множители к одному виду.

Разность квадратов: x² − 64 = x² − 8² = (x − 8)(x + 8).

Неравенство становится таким: (8 − x)(x − 8)(x + 8) ≥ 0.

Убираем «перевёрнутую» скобку. Ведь 8 − x = −(x − 8). Подставляем:

−(x − 8)(x − 8)(x + 8) ≥ 0, то есть −(x − 8)²(x + 8) ≥ 0.

Умножаем обе части на −1, при этом знак неравенства переворачивается:

(x − 8)²(x + 8) ≤ 0

Ключевое: (x − 8)² не бывает отрицательным — он равен нулю ровно при x = 8, а в остальных точках положителен. Два случая.

Случай 1: x = 8. Тогда (x − 8)² = 0 и всё произведение равно нулю, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет. Значит x = 8 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 8. Тогда (x − 8)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак сохраняется: x + 8 ≤ 0, то есть x ≤ −8.

Проверим в исходном неравенстве (8 − x)(x² − 64) ≥ 0. При x = −9: (8 + 9)·(81 − 64) = 17·17 = 289 ≥ 0 — подходит. При x = 0: 8·(−64) = −512 — не подходит. При x = 8: 0·0 = 0 ≥ 0 — подходит. При x = 10: (−2)·(100 − 64) = −72 — не подходит.

Итог: луч левее −8 вместе с точкой −8 и отдельно стоящая точка 8.