Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038428

Дано 1/x ≥ 1/(x − 2). Главное правило для неравенств с дробями: перемножать «крест-накрест» запрещено — знаки знаменателей x и x − 2 неизвестны, а умножение на отрицательное число переворачивает неравенство. Переносим всё в одну часть.

Область допустимых значений. Знаменатели не равны нулю: x ≠ 0 и x − 2 ≠ 0, то есть x ≠ 2.

Переносим правую дробь влево:

1/x − 1/(x − 2) ≥ 0

Общий знаменатель — x(x − 2). Приводим:

((x − 2) − x)/(x(x − 2)) ≥ 0

Считаем числитель: (x − 2) − x = x − 2 − x = −2. Он оказался просто числом! Получаем

−2/(x(x − 2)) ≥ 0

Умножаем обе части на −1 и переворачиваем знак:

2/(x(x − 2)) ≤ 0

Числитель 2 положителен и нулём не бывает, поэтому знак дроби задаёт только знаменатель, а равенство нулю невозможно. Значит условие строгое: x(x − 2) < 0.

Решаем его. Слева парабола ветвями вверх с корнями 0 и 2; ниже оси она лежит между корнями. Получаем 0 < x < 2, оба конца выколоты — там знаменатель обращается в нуль.

Проверка в исходном неравенстве. При x = 1: слева 1, справа 1/(1 − 2) = −1; 1 ≥ −1 — верно. При x = 3: слева ≈ 0,33, справа 1/1 = 1; 0,33 ≥ 1 — неверно, значит 3 правильно не вошло. При x = −1: слева −1, справа 1/(−3) ≈ −0,33; −1 ≥ −0,33 — неверно, тоже исключаем.