Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038427

Дано 1/x ≥ 1/(x − 3). Главное правило: перемножать «крест-накрест» запрещено — знаки знаменателей x и x − 3 неизвестны, а умножение на отрицательное число переворачивает неравенство. Переносим всё в одну часть.

Область допустимых значений. Знаменатели не равны нулю: x ≠ 0 и x − 3 ≠ 0, то есть x ≠ 3.

Переносим правую дробь влево:

1/x − 1/(x − 3) ≥ 0

Общий знаменатель — x(x − 3). Приводим:

((x − 3) − x)/(x(x − 3)) ≥ 0

Считаем числитель: (x − 3) − x = x − 3 − x = −3. Он оказался просто числом! Получаем

−3/(x(x − 3)) ≥ 0

Умножаем обе части на −1 и переворачиваем знак:

3/(x(x − 3)) ≤ 0

Числитель 3 положителен и нулём не бывает, поэтому знак дроби целиком задаёт знаменатель, а равенство нулю невозможно. Значит условие строгое: x(x − 3) < 0.

Решаем его. Слева парабола ветвями вверх с корнями 0 и 3; ниже оси она лежит между корнями. Получаем 0 < x < 3, оба конца выколоты — там знаменатель обращается в нуль.

Проверка в исходном неравенстве. При x = 1: слева 1, справа 1/(1 − 3) = −0,5; 1 ≥ −0,5 — верно. При x = 4: слева 0,25, справа 1/1 = 1; 0,25 ≥ 1 — неверно, значит 4 правильно не вошло. При x = −1: слева −1, справа 1/(−4) = −0,25; −1 ≥ −0,25 — неверно, тоже исключаем.