Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038426

Слева произведение скобки (3 − x) и разности квадратов. Разложим вторую скобку и приведём множители к одному виду.

Разность квадратов: x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3).

Неравенство становится таким: (3 − x)(x − 3)(x + 3) ≥ 0.

Убираем «перевёрнутую» скобку. Ведь 3 − x = −(x − 3). Подставляем:

−(x − 3)(x − 3)(x + 3) ≥ 0, то есть −(x − 3)²(x + 3) ≥ 0.

Умножаем обе части на −1, при этом знак неравенства переворачивается:

(x − 3)²(x + 3) ≤ 0

Ключевое: (x − 3)² не бывает отрицательным — он равен нулю ровно при x = 3, а в остальных точках положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 3. Тогда (x − 3)² = 0 и всё произведение равно нулю, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет. Значит x = 3 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 3. Тогда (x − 3)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак сохраняется: x + 3 ≤ 0, то есть x ≤ −3.

Проверим в исходном неравенстве (3 − x)(x² − 9) ≥ 0. При x = −4: (3 + 4)·(16 − 9) = 7·7 = 49 ≥ 0 — подходит. При x = 0: 3·(−9) = −27 — не подходит. При x = 3: 0·0 = 0 ≥ 0 — подходит. При x = 5: (−2)·(25 − 9) = −32 — не подходит.

Итог: луч левее −3 вместе с точкой −3 и отдельно стоящая точка 3.