Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038425

Слева произведение двух квадратных трёхчленов, справа ноль. Раскрывать скобки не надо — разложим каждую на линейные множители и применим метод интервалов.

Первая скобка. Решаем x² + x − 6 = 0: дискриминант D = 1² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25, √D = 5, корни x = (−1 − 5)/2 = −3 и x = (−1 + 5)/2 = 2. Значит x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2).

Вторая скобка. Решаем x² + x − 30 = 0: D = 1² − 4·1·(−30) = 1 + 120 = 121, √D = 11, корни x = (−1 − 11)/2 = −6 и x = (−1 + 11)/2 = 5. Значит x² + x − 30 = (x + 6)(x − 5).

Неравенство принимает вид: (x + 3)(x − 2)(x + 6)(x − 5) ≤ 0.

Все четыре корня разные — −6, −3, 2, 5 — значит в каждом из них знак произведения меняется. Отмечаем их на прямой, получается пять промежутков.

Расставляем знаки подстановкой. Справа от самого большого корня все скобки положительны, там «плюс», дальше влево знаки чередуются. Проверим:

• x = 6: 9·4·12·1 = 432 > 0 — не подходит;
• x = 3: 6·1·9·(−2) = −108 < 0 — подходит;
• x = 0: 3·(−2)·6·(−5) = 180 > 0 — не подходит;
• x = −4: (−1)·(−6)·2·(−9) = −108 < 0 — подходит;
• x = −7: (−4)·(−9)·(−1)·(−12) = 432 > 0 — не подходит.

Берём промежутки со знаком «минус». Неравенство нестрогое, поэтому сами корни тоже входят: в них произведение равно нулю, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет.

Получаем два отрезка вместе с концами: от −6 до −3 и от 2 до 5.