Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038424

Дано x²/(x − 2) ≤ x. Главная ловушка: умножать обе части на (x − 2) нельзя — знак этой скобки неизвестен, а при умножении на отрицательное число неравенство переворачивается. Переносим всё влево.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x − 2 ≠ 0, то есть x ≠ 2.

Переносим и приводим к одной дроби:

x²/(x − 2) − x ≤ 0

Общий знаменатель — (x − 2), домножаем на него x:

(x² − x(x − 2))/(x − 2) ≤ 0

Упрощаем числитель: x² − x·x + 2x = x² − x² + 2x = 2x. Остаётся

2x/(x − 2) ≤ 0

Двойка положительна, на неё можно поделить обе части без смены знака:

x/(x − 2) ≤ 0

Метод интервалов. Нуль числителя x = 0 входит в ответ (дробь там равна нулю, а «≤» ноль допускает), нуль знаменателя x = 2 — выколот. Проверяем знак на трёх промежутках:

• x = −1: (−1)/(−3) ≈ 0,33 > 0 — не подходит;
• x = 1: 1/(−1) = −1 < 0 — подходит;
• x = 3: 3/1 = 3 > 0 — не подходит.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 0: слева 0/(0 − 2) = 0, справа 0, и 0 ≤ 0 — верно. При x = 1: слева 1/(1 − 2) = −1, справа 1, и −1 ≤ 1 — верно. При x = 3: слева 9/1 = 9, справа 3, и 9 ≤ 3 — неверно, значит 3 правильно не вошло.

Итог: промежуток от 0 до 2, где ноль включён, а двойка выколота.