Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038423

Дана дробь (x² − 8x + 12)/(x − 2) ≤ 0. Начинаем с разложения числителя — он здесь родственник знаменателя.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x − 2 ≠ 0, то есть x ≠ 2. Это ограничение доживёт до ответа, даже когда скобка сократится.

Раскладываем числитель. Решаем x² − 8x + 12 = 0: дискриминант D = (−8)² − 4·1·12 = 64 − 48 = 16, √D = 4, корни x = (8 − 4)/2 = 2 и x = (8 + 4)/2 = 6. Значит x² − 8x + 12 = (x − 2)(x − 6). Неравенство принимает вид

(x − 2)(x − 6)/(x − 2) ≤ 0

Сокращаем с оговоркой. Раз x ≠ 2, скобка (x − 2) не равна нулю, и на неё можно сократить. Остаётся линейное неравенство

x − 6 ≤ 0, то есть x ≤ 6.

Но точку x = 2 выкалываем: в исходной дроби при x = 2 знаменатель обращается в нуль, выражение не существует.

Проверим по точкам. При x = 0: числитель 0 − 0 + 12 = 12, знаменатель −2, дробь −6 ≤ 0 — подходит. При x = 4: числитель 16 − 32 + 12 = −4, знаменатель 2, дробь −2 ≤ 0 — подходит. При x = 6: числитель 36 − 48 + 12 = 0, знаменатель 4, дробь 0 ≤ 0 — подходит. При x = 7: числитель 49 − 56 + 12 = 5, знаменатель 5, дробь 1 > 0 — не подходит. При x = 2 выражение не определено.

Итог: всё, что не больше 6, кроме выколотой точки 2.