Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038422

Дана дробь (3x² − 24x + 48)/(x + 8) ≤ 0. Первым делом разложим числитель — здесь он сворачивается в квадрат, и это определяет весь ответ.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x + 8 ≠ 0, то есть x ≠ −8.

Раскладываем числитель. Выносим общий множитель 3: 3x² − 24x + 48 = 3(x² − 8x + 16). В скобке — полный квадрат: x² − 8x + 16 = (x − 4)². Проверим: (x − 4)² = x² − 8x + 16 — верно. Значит числитель равен 3(x − 4)², и неравенство выглядит так:

3(x − 4)²/(x + 8) ≤ 0

Ключ: 3(x − 4)² не бывает отрицательным — тройка положительна, квадрат неотрицателен. Числитель равен нулю только при x = 4, во всех остальных точках строго положителен. Два случая.

Случай 1: x = 4. Числитель равен нулю, знаменатель 4 + 8 = 12 ≠ 0, значит дробь равна 0. Ноль удовлетворяет условию «≤ 0», поэтому x = 4 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 4 (и x ≠ −8). Числитель строго положителен, поэтому дробь отрицательна ровно тогда, когда отрицателен знаменатель: x + 8 < 0, то есть x < −8.

Проверим по точкам. При x = −9: числитель 3·(−9 − 4)² = 3·169 = 507 > 0, знаменатель −9 + 8 = −1 < 0, дробь отрицательна — подходит. При x = 0: числитель 3·16 = 48, знаменатель 8, дробь 6 > 0 — не подходит. При x = 4: дробь 0 — подходит. При x = 10: числитель 3·36 = 108, знаменатель 18, дробь 6 > 0 — не подходит.

Итог: луч левее −8 (сама точка −8 выколота) и отдельно стоящая точка 4.