Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038421

Дано x ≤ 25/x. Главное: умножать обе части на x нельзя — знак x неизвестен, а при умножении на отрицательное число неравенство переворачивается. Переносим всё в левую часть.

Область допустимых значений. В знаменателе стоит x, поэтому x ≠ 0.

Переносим:

x − 25/x ≤ 0

Приводим к общему знаменателю x:

(x² − 25)/x ≤ 0

Числитель — разность квадратов: x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5). Получаем

(x − 5)(x + 5)/x ≤ 0

Метод интервалов. Точки смены знака: нули числителя x = −5 и x = 5 (они входят в ответ — дробь там равна нулю, а «≤» ноль допускает) и нуль знаменателя x = 0 (выколот). Проверяем знак:

• x = −6: (−11)·(−1)/(−6) = 11/(−6) < 0 — подходит;
• x = −1: (−6)·4/(−1) = 24 > 0 — не подходит;
• x = 1: (−4)·6/1 = −24 < 0 — подходит;
• x = 6: 1·11/6 > 0 — не подходит.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 1: слева 1, справа 25/1 = 25, и 1 ≤ 25 — верно. При x = −6: слева −6, справа 25/(−6) ≈ −4,2, и −6 ≤ −4,2 — верно. При x = 6: слева 6, справа ≈ 4,2, и 6 ≤ 4,2 — неверно, значит 6 правильно не вошло. При x = 5: слева 5, справа 5 — равенство, точка входит.

Итог: луч левее −5 (вместе с точкой −5) и промежуток от 0 до 5, где ноль выколот, а пятёрка включена.