Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038420

Дана дробь (x² − 10x + 24)/(x − 4) ≤ 0. Начнём с разложения числителя — он тут «родственник» знаменателя.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x − 4 ≠ 0, то есть x ≠ 4. Это ограничение обязано дожить до ответа, даже когда скобка сократится.

Раскладываем числитель. Решаем x² − 10x + 24 = 0: дискриминант D = (−10)² − 4·1·24 = 100 − 96 = 4, √D = 2, корни x = (10 − 2)/2 = 4 и x = (10 + 2)/2 = 6. Значит x² − 10x + 24 = (x − 4)(x − 6). Неравенство принимает вид

(x − 4)(x − 6)/(x − 4) ≤ 0

Сокращаем с оговоркой. Раз x ≠ 4, скобка (x − 4) не равна нулю, и на неё можно сократить. Остаётся линейное неравенство

x − 6 ≤ 0, то есть x ≤ 6.

Но точку x = 4 выкалываем: в исходной дроби при x = 4 знаменатель обращается в нуль, выражение не существует.

Проверим по точкам. При x = 0: числитель 0 − 0 + 24 = 24, знаменатель −4, дробь −6 ≤ 0 — подходит. При x = 5: числитель 25 − 50 + 24 = −1, знаменатель 1, дробь −1 ≤ 0 — подходит. При x = 6: числитель 36 − 60 + 24 = 0, знаменатель 2, дробь 0 ≤ 0 — подходит. При x = 7: числитель 49 − 70 + 24 = 3, знаменатель 3, дробь 1 > 0 — не подходит. При x = 4 выражение не определено.

Итог: всё, что не больше 6, кроме выколотой точки 4.