ID: 00038419
Решите неравенство $(x^{2}+x-20)(x^{2}-10x+24)\geqslant 0$.
Источник: ФИПИ
Слева произведение двух квадратных трёхчленов, справа ноль. Перемножать скобки не нужно — разложим каждую на линейные множители и проверим, нет ли общего корня.
Первая скобка. Решаем x² + x − 20 = 0: дискриминант D = 1² − 4·1·(−20) = 1 + 80 = 81, √D = 9, корни x = (−1 − 9)/2 = −5 и x = (−1 + 9)/2 = 4. Значит x² + x − 20 = (x + 5)(x − 4).
Вторая скобка. Решаем x² − 10x + 24 = 0: D = (−10)² − 4·1·24 = 100 − 96 = 4, √D = 2, корни x = (10 − 2)/2 = 4 и x = (10 + 2)/2 = 6. Значит x² − 10x + 24 = (x − 4)(x − 6).
Собираем неравенство: (x + 5)(x − 4)(x − 4)(x − 6) ≥ 0, то есть (x + 5)(x − 6)(x − 4)² ≥ 0.
Корень x = 4 общий у обеих скобок, поэтому множитель (x − 4) стоит в квадрате. Квадрат не бывает отрицательным: он равен нулю только при x = 4, в остальных точках положителен. Два случая.
Случай 1: x = 4. Тогда (x − 4)² = 0 и всё произведение равно нулю. Ноль удовлетворяет условию «≥ 0», значит x = 4 входит в ответ.
Случай 2: x ≠ 4. Тогда (x − 4)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак не меняется: (x + 5)(x − 6) ≥ 0. Парабола ветвями вверх с корнями −5 и 6 неотрицательна вне промежутка между корнями. Получаем x ≤ −5 или x ≥ 6.
Проверка по точкам для (x + 5)(x − 6)(x − 4)²: при x = −6 → (−1)·(−12)·100 = 1200 > 0 — подходит; при x = 0 → 5·(−6)·16 = −480 < 0 — не подходит; при x = 4 → 0 — подходит; при x = 5 → 10·(−1)·1 = −10 < 0 — не подходит; при x = 7 → 12·1·9 = 108 > 0 — подходит.
Итог: два луча вместе с концами −5 и 6, а между ними — единственная подходящая точка 4.