Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038418

Дано x ≤ 49/x. Главное правило: умножать обе части на x нельзя — знак x неизвестен, а при умножении на отрицательное число неравенство переворачивается. Переносим всё в левую часть.

Область допустимых значений. В знаменателе стоит x, поэтому x ≠ 0.

Переносим:

x − 49/x ≤ 0

Приводим к общему знаменателю x:

(x² − 49)/x ≤ 0

Числитель — разность квадратов: x² − 49 = x² − 7² = (x − 7)(x + 7). Получаем

(x − 7)(x + 7)/x ≤ 0

Метод интервалов. Точки смены знака: нули числителя x = −7 и x = 7 (они входят в ответ — там дробь равна нулю, а «≤» ноль допускает) и нуль знаменателя x = 0 (выколот). Проверяем знак:

• x = −8: (−15)·(−1)/(−8) = 15/(−8) < 0 — подходит;
• x = −1: (−8)·6/(−1) = 48 > 0 — не подходит;
• x = 1: (−6)·8/1 = −48 < 0 — подходит;
• x = 8: 1·15/8 > 0 — не подходит.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 1: слева 1, справа 49/1 = 49, и 1 ≤ 49 — верно. При x = −8: слева −8, справа 49/(−8) ≈ −6,1, и −8 ≤ −6,1 — верно. При x = 8: слева 8, справа 6,1, и 8 ≤ 6,1 — неверно, значит 8 правильно не вошло. При x = 7: слева 7, справа 7 — равенство, точка входит.

Итог: луч левее −7 (вместе с точкой −7) и промежуток от 0 до 7, где ноль выколот, а семёрка включена.