Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038416

Дана дробь (x² − 7x + 12)/(x − 3) ≤ 0. Начнём с разложения числителя — он здесь неслучайно похож на знаменатель.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x − 3 ≠ 0, то есть x ≠ 3. Это ограничение обязательно доживёт до ответа, даже когда скобка сократится.

Раскладываем числитель. Решаем x² − 7x + 12 = 0: дискриминант D = (−7)² − 4·1·12 = 49 − 48 = 1, √D = 1, корни x = (7 − 1)/2 = 3 и x = (7 + 1)/2 = 4. Значит x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4). Неравенство принимает вид

(x − 3)(x − 4)/(x − 3) ≤ 0

Сокращаем с оговоркой. Раз x ≠ 3, скобка (x − 3) не равна нулю, и на неё можно сократить. Остаётся линейное неравенство

x − 4 ≤ 0, то есть x ≤ 4.

Но точку x = 3 выкалываем: в исходной дроби при x = 3 знаменатель обращается в нуль, и выражение просто не существует.

Проверим по точкам. При x = 0: числитель 0 − 0 + 12 = 12, знаменатель −3, дробь −4 ≤ 0 — подходит. При x = 3,5: числитель 12,25 − 24,5 + 12 = −0,25, знаменатель 0,5, дробь −0,5 ≤ 0 — подходит. При x = 4: числитель 16 − 28 + 12 = 0, знаменатель 1, дробь 0 ≤ 0 — подходит. При x = 5: числитель 25 − 35 + 12 = 2, знаменатель 2, дробь 1 > 0 — не подходит. При x = 3 выражение не определено.

Итог: всё, что не больше 4, кроме выколотой точки 3.