Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038415

Дано x ≤ 16/x. Первое и главное: умножать обе части на x нельзя — знак x неизвестен, а при умножении на отрицательное число неравенство переворачивается. Переносим всё влево.

Область допустимых значений. В знаменателе стоит x, поэтому x ≠ 0.

Переносим:

x − 16/x ≤ 0

Приводим к общему знаменателю x:

(x² − 16)/x ≤ 0

Числитель — разность квадратов: x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4). Получаем

(x − 4)(x + 4)/x ≤ 0

Метод интервалов. Точки смены знака: нули числителя x = −4 и x = 4 (они входят в ответ — там дробь равна нулю, а «≤» ноль допускает) и нуль знаменателя x = 0 (выколот). Проверяем знак на четырёх промежутках:

• x = −5: (−9)·(−1)/(−5) = 9/(−5) < 0 — подходит;
• x = −1: (−5)·3/(−1) = 15 > 0 — не подходит;
• x = 1: (−3)·5/1 = −15 < 0 — подходит;
• x = 5: 1·9/5 > 0 — не подходит.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 1: слева 1, справа 16/1 = 16, и 1 ≤ 16 — верно. При x = −5: слева −5, справа 16/(−5) = −3,2, и −5 ≤ −3,2 — верно. При x = 5: слева 5, справа 3,2, и 5 ≤ 3,2 — неверно, значит 5 правильно не вошло. При x = 4: слева 4, справа 4 — равенство выполняется, точка входит.

Итог: луч левее −4 (вместе с точкой −4) и промежуток от 0 до 4, где ноль выколот, а четвёрка включена.