ID: 00038414
Решите неравенство $(2-x)(x^{2}+2x-8)\geqslant 0$.
Источник: ФИПИ
Слева произведение линейного множителя (2 − x) и квадратного трёхчлена. Разложим трёхчлен и посмотрим, не появится ли общая скобка.
Раскладываем трёхчлен. Решаем x² + 2x − 8 = 0: дискриминант D = 2² − 4·1·(−8) = 4 + 32 = 36, √D = 6, корни x = (−2 − 6)/2 = −4 и x = (−2 + 6)/2 = 2. Значит x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2).
Неравенство становится таким: (2 − x)(x + 4)(x − 2) ≥ 0.
Приводим скобки к одному виду. Заметь: 2 − x = −(x − 2). Подставляем:
−(x − 2)(x + 4)(x − 2) ≥ 0, то есть −(x − 2)²(x + 4) ≥ 0.
Умножаем обе части на −1 и переворачиваем знак неравенства:
(x − 2)²(x + 4) ≤ 0
Дальше стандартный ход: (x − 2)² не бывает отрицательным — он равен нулю только при x = 2, во всех остальных точках положителен. Два случая.
Случай 1: x = 2. Тогда (x − 2)² = 0 и всё произведение равно нулю. Ноль удовлетворяет условию «≤ 0», значит x = 2 входит в ответ.
Случай 2: x ≠ 2. Тогда (x − 2)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак сохраняется: x + 4 ≤ 0, то есть x ≤ −4.
Проверим в исходном неравенстве (2 − x)(x² + 2x − 8) ≥ 0. При x = −5: (2 + 5)·(25 − 10 − 8) = 7·7 = 49 ≥ 0 — подходит. При x = 0: 2·(−8) = −16 — не подходит. При x = 2: 0·0 = 0 ≥ 0 — подходит. При x = 4: (−2)·(16 + 8 − 8) = (−2)·16 = −32 — не подходит.
Итог: луч левее −4 вместе с точкой −4 и отдельно стоящая точка 2.