Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038413

Дано x ≤ 9/x. Сразу важное: умножать обе части на x нельзя — знак x неизвестен, а при умножении на отрицательное число неравенство переворачивается. Переносим всё в левую часть.

Область допустимых значений. В знаменателе стоит x, значит x ≠ 0.

Переносим:

x − 9/x ≤ 0

Приводим к общему знаменателю x:

(x² − 9)/x ≤ 0

Числитель — разность квадратов: x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3). Получаем

(x − 3)(x + 3)/x ≤ 0

Метод интервалов. Точки смены знака: нули числителя x = −3 и x = 3 (они входят в ответ — дробь там равна нулю, а «≤» ноль допускает) и нуль знаменателя x = 0 (выколот). Проверяем знак:

• x = −4: (−7)·(−1)/(−4) = 7/(−4) < 0 — подходит;
• x = −1: (−4)·2/(−1) = 8 > 0 — не подходит;
• x = 1: (−2)·4/1 = −8 < 0 — подходит;
• x = 4: 1·7/4 > 0 — не подходит.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 1: слева 1, справа 9/1 = 9, и 1 ≤ 9 — верно. При x = −4: слева −4, справа 9/(−4) = −2,25, и −4 ≤ −2,25 — верно. При x = 4: слева 4, справа 2,25, и 4 ≤ 2,25 — неверно, значит 4 правильно не вошло. При x = 3: слева 3, справа 3, равенство выполняется — точка входит.

Итог: луч левее −3 (вместе с точкой −3) и промежуток от 0 до 3, где ноль выколот, а тройка включена.