Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038412

Слева произведение двух квадратных трёхчленов, справа ноль. Раскрывать скобки не надо — разложим каждую на линейные множители и проверим, нет ли общего корня.

Первая скобка. Решаем x² − x − 6 = 0: дискриминант D = (−1)² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25, √D = 5, корни x = (1 − 5)/2 = −2 и x = (1 + 5)/2 = 3. Значит x² − x − 6 = (x + 2)(x − 3).

Вторая скобка. Решаем x² − 8x + 15 = 0: D = (−8)² − 4·1·15 = 64 − 60 = 4, √D = 2, корни x = (8 − 2)/2 = 3 и x = (8 + 2)/2 = 5. Значит x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5).

Собираем неравенство: (x + 2)(x − 3)(x − 3)(x − 5) ≥ 0, то есть (x + 2)(x − 5)(x − 3)² ≥ 0.

Корень x = 3 общий у обеих скобок, поэтому множитель (x − 3) стоит в квадрате. Квадрат не бывает отрицательным: он равен нулю только при x = 3, в остальных точках положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 3. Тогда (x − 3)² = 0 и всё произведение равно нулю. Ноль удовлетворяет условию «≥ 0», значит x = 3 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 3. Тогда (x − 3)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак не меняется: (x + 2)(x − 5) ≥ 0. Парабола ветвями вверх с корнями −2 и 5 неотрицательна вне промежутка между корнями. Получаем x ≤ −2 или x ≥ 5.

Проверка по точкам для (x + 2)(x − 5)(x − 3)²: при x = −3 → (−1)·(−8)·36 = 288 > 0 — подходит; при x = 0 → 2·(−5)·9 = −90 < 0 — не подходит; при x = 3 → 0 — подходит; при x = 4 → 6·(−1)·1 = −6 < 0 — не подходит; при x = 6 → 8·1·9 = 72 > 0 — подходит.

Итог: два луча вместе с концами −2 и 5, а между ними — единственная подходящая точка 3.