Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038411

Дана дробь (x² − 7x + 10)/(x − 2) ≤ 0. Первым делом разложим числитель — и сразу увидим, что он «дружит» со знаменателем.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x − 2 ≠ 0, то есть x ≠ 2. Это ограничение обязательно останется в ответе, даже если дальше скобка сократится.

Раскладываем числитель. Решаем x² − 7x + 10 = 0: дискриминант D = (−7)² − 4·1·10 = 49 − 40 = 9, √D = 3, корни x = (7 − 3)/2 = 2 и x = (7 + 3)/2 = 5. Значит x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5). Неравенство принимает вид

(x − 2)(x − 5)/(x − 2) ≤ 0

Сокращаем — но с оговоркой. Раз x ≠ 2, скобка (x − 2) не равна нулю, и на неё можно сократить. Остаётся простое линейное неравенство

x − 5 ≤ 0, то есть x ≤ 5.

Но про x ≠ 2 забывать нельзя: в исходной дроби при x = 2 знаменатель обращается в нуль, выражение просто не существует. Поэтому точку 2 из ответа выкалываем.

Проверим по точкам. При x = 0: числитель 0 − 0 + 10 = 10, знаменатель −2, дробь −5 ≤ 0 — подходит. При x = 3: числитель 9 − 21 + 10 = −2, знаменатель 1, дробь −2 ≤ 0 — подходит. При x = 5: числитель 25 − 35 + 10 = 0, знаменатель 3, дробь 0 ≤ 0 — подходит. При x = 6: числитель 36 − 42 + 10 = 4, знаменатель 4, дробь 1 > 0 — не подходит. При x = 2 выражение не определено.

Итог: всё, что не больше 5, кроме выколотой точки 2.