Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038410

Слева произведение линейного множителя (3 − x) и квадратного трёхчлена. Разложим трёхчлен и посмотрим, не появится ли общая скобка.

Раскладываем трёхчлен. Решаем x² + 2x − 15 = 0: дискриминант D = 2² − 4·1·(−15) = 4 + 60 = 64, √D = 8, корни x = (−2 − 8)/2 = −5 и x = (−2 + 8)/2 = 3. Значит x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3).

Неравенство становится таким: (3 − x)(x + 5)(x − 3) ≥ 0.

Приводим скобки к одному виду. Заметь: 3 − x = −(x − 3). Подставляем:

−(x − 3)(x + 5)(x − 3) ≥ 0, то есть −(x − 3)²(x + 5) ≥ 0.

Умножаем обе части на −1 и переворачиваем знак неравенства:

(x − 3)²(x + 5) ≤ 0

Теперь работает знакомое соображение: (x − 3)² не бывает отрицательным — он равен нулю только при x = 3, в остальных точках положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 3. Тогда (x − 3)² = 0 и всё произведение равно нулю. Ноль удовлетворяет условию «≤ 0», значит x = 3 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 3. Тогда (x − 3)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак сохраняется: x + 5 ≤ 0, то есть x ≤ −5.

Проверим в исходном неравенстве (3 − x)(x² + 2x − 15) ≥ 0. При x = −6: (3 + 6)·(36 − 12 − 15) = 9·9 = 81 ≥ 0 — подходит. При x = 0: 3·(−15) = −45 — не подходит. При x = 3: 0·0 = 0 ≥ 0 — подходит. При x = 5: (−2)·(25 + 10 − 15) = (−2)·20 = −40 — не подходит.

Итог: луч левее −5 вместе с точкой −5 и отдельно стоящая точка 3.