Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038409

Дано 1/x ≥ 1/(x − 7). Главное правило для неравенств с дробями: перемножать «крест-накрест» запрещено. Знаки знаменателей x и x − 7 неизвестны, а умножение на отрицательное число переворачивает неравенство. Значит переносим всё в одну часть.

Область допустимых значений. Знаменатели не равны нулю: x ≠ 0 и x − 7 ≠ 0, то есть x ≠ 7.

Переносим правую дробь влево:

1/x − 1/(x − 7) ≥ 0

Общий знаменатель — x(x − 7). Приводим:

((x − 7) − x)/(x(x − 7)) ≥ 0

Считаем числитель: (x − 7) − x = x − 7 − x = −7. Он оказался просто числом! Получаем

−7/(x(x − 7)) ≥ 0

Умножаем обе части на −1 и переворачиваем знак неравенства:

7/(x(x − 7)) ≤ 0

Числитель 7 положителен и никогда не равен нулю, значит знак дроби целиком задаёт знаменатель, а равенство нулю невозможно. Поэтому условие получается строгим: x(x − 7) < 0.

Решаем его. Слева парабола ветвями вверх с корнями 0 и 7; ниже оси она лежит между корнями. Значит 0 < x < 7, оба конца выколоты — там знаменатель обращается в нуль.

Проверка в исходном неравенстве. При x = 1: слева 1, справа 1/(1 − 7) ≈ −0,17; 1 ≥ −0,17 — верно. При x = 8: слева 0,125, справа 1/1 = 1; 0,125 ≥ 1 — неверно, значит 8 правильно не вошло. При x = −1: слева −1, справа 1/(−8) = −0,125; −1 ≥ −0,125 — неверно, тоже исключаем.