Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038408

Слева произведение двух квадратных трёхчленов, справа ноль. Перемножать скобки не надо — разложим каждую на линейные множители и проверим, нет ли у них общего корня.

Первая скобка. Решаем x² − 2x − 8 = 0: дискриминант D = (−2)² − 4·1·(−8) = 4 + 32 = 36, √D = 6, корни x = (2 − 6)/2 = −2 и x = (2 + 6)/2 = 4. Значит x² − 2x − 8 = (x + 2)(x − 4).

Вторая скобка. Решаем x² − 9x + 20 = 0: D = (−9)² − 4·1·20 = 81 − 80 = 1, √D = 1, корни x = (9 − 1)/2 = 4 и x = (9 + 1)/2 = 5. Значит x² − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5).

Собираем неравенство: (x + 2)(x − 4)(x − 4)(x − 5) ≥ 0, то есть (x + 2)(x − 5)(x − 4)² ≥ 0.

Корень x = 4 общий у обеих скобок, поэтому множитель (x − 4) стоит в квадрате. Квадрат не бывает отрицательным: он равен нулю только при x = 4, в остальных точках положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 4. Тогда (x − 4)² = 0, всё произведение равно нулю. Ноль удовлетворяет условию «≥ 0», значит x = 4 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 4. Тогда (x − 4)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак не меняется: (x + 2)(x − 5) ≥ 0. Парабола ветвями вверх с корнями −2 и 5 неотрицательна вне промежутка между корнями. Получаем x ≤ −2 или x ≥ 5.

Проверка по точкам для (x + 2)(x − 5)(x − 4)²: при x = −3 → (−1)·(−8)·49 = 392 > 0 — подходит; при x = 0 → 2·(−5)·16 = −160 < 0 — не подходит; при x = 4 → 0 — подходит; при x = 4,5 → 6,5·(−0,5)·0,25 < 0 — не подходит; при x = 6 → 8·1·4 = 32 > 0 — подходит.

Итог: два луча вместе с концами −2 и 5, а между ними — единственная подходящая точка 4.