ID: 00038407
Решите неравенство $(x^{2}+2x-8)(x^{2}-9x+14)\geqslant 0$.
Источник: ФИПИ
Слева произведение двух квадратных трёхчленов, справа ноль. Раскрывать скобки не нужно — разложим каждую на линейные множители и проверим, нет ли общего корня.
Первая скобка. Решаем x² + 2x − 8 = 0: дискриминант D = 2² − 4·1·(−8) = 4 + 32 = 36, √D = 6, корни x = (−2 − 6)/2 = −4 и x = (−2 + 6)/2 = 2. Значит x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2).
Вторая скобка. Решаем x² − 9x + 14 = 0: D = (−9)² − 4·1·14 = 81 − 56 = 25, √D = 5, корни x = (9 − 5)/2 = 2 и x = (9 + 5)/2 = 7. Значит x² − 9x + 14 = (x − 2)(x − 7).
Собираем неравенство: (x + 4)(x − 2)(x − 2)(x − 7) ≥ 0, то есть (x + 4)(x − 7)(x − 2)² ≥ 0.
Корень x = 2 общий у обеих скобок, поэтому множитель (x − 2) стоит в квадрате. Квадрат не бывает отрицательным: он равен нулю только при x = 2, в остальных точках положителен. Два случая.
Случай 1: x = 2. Тогда (x − 2)² = 0 и всё произведение равно нулю. Ноль удовлетворяет условию «≥ 0», значит x = 2 входит в ответ.
Случай 2: x ≠ 2. Тогда (x − 2)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак не меняется: (x + 4)(x − 7) ≥ 0. Парабола ветвями вверх с корнями −4 и 7 неотрицательна вне промежутка между корнями. Получаем x ≤ −4 или x ≥ 7.
Проверка по точкам для (x + 4)(x − 7)(x − 2)²: при x = −5 → (−1)·(−12)·49 = 588 > 0 — подходит; при x = 0 → 4·(−7)·4 = −112 < 0 — не подходит; при x = 2 → 0 — подходит; при x = 5 → 9·(−2)·9 = −162 < 0 — не подходит; при x = 8 → 12·1·36 = 432 > 0 — подходит.
Итог: два луча вместе с концами −4 и 7, а между ними — единственная подходящая точка 2.