Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038406

Дано x ≤ 81/x. Сразу предупреждение: умножать обе части на x нельзя — знак x неизвестен, а при умножении на отрицательное число неравенство переворачивается. Переносим всё в левую часть.

Область допустимых значений. В знаменателе стоит x, поэтому x ≠ 0.

Переносим:

x − 81/x ≤ 0

Приводим к общему знаменателю x:

(x² − 81)/x ≤ 0

Числитель — разность квадратов: x² − 81 = x² − 9² = (x − 9)(x + 9). Получаем

(x − 9)(x + 9)/x ≤ 0

Метод интервалов. Отмечаем точки смены знака: нули числителя x = −9 и x = 9 (они входят в ответ — дробь там равна нулю, а «≤» ноль допускает) и нуль знаменателя x = 0 (выколот). Проверяем знак на четырёх промежутках:

• x = −10: (−19)·(−1)/(−10) = 19/(−10) < 0 — подходит;
• x = −1: (−10)·8/(−1) = 80 > 0 — не подходит;
• x = 1: (−8)·10/1 = −80 < 0 — подходит;
• x = 10: 1·19/10 > 0 — не подходит.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 1: слева 1, справа 81/1 = 81, и 1 ≤ 81 — верно. При x = −10: слева −10, справа 81/(−10) = −8,1, и −10 ≤ −8,1 — верно. При x = 10: слева 10, справа 8,1, и 10 ≤ 8,1 — неверно, значит 10 правильно не вошло.

Итог: луч левее −9 (вместе с точкой −9) и промежуток от 0 до 9, где ноль выколот, а девятка включена.