Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038405

Слева произведение двух квадратных трёхчленов, справа ноль. Перемножать скобки нельзя — получится четвёртая степень. Разложим каждую на линейные множители.

Первая скобка. Решаем x² + x − 20 = 0: дискриминант D = 1² − 4·1·(−20) = 1 + 80 = 81, √D = 9, корни x = (−1 − 9)/2 = −5 и x = (−1 + 9)/2 = 4. Значит x² + x − 20 = (x + 5)(x − 4).

Вторая скобка. Решаем x² − 7x + 12 = 0: D = (−7)² − 4·1·12 = 49 − 48 = 1, √D = 1, корни x = (7 − 1)/2 = 3 и x = (7 + 1)/2 = 4. Значит x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4).

Собираем неравенство: (x + 5)(x − 4)(x − 3)(x − 4) ≤ 0, то есть (x + 5)(x − 3)(x − 4)² ≤ 0.

Корень x = 4 общий у обеих скобок, поэтому множитель (x − 4) стоит в квадрате. Квадрат не бывает отрицательным: он равен нулю только при x = 4, в остальных точках положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 4. Тогда (x − 4)² = 0 и всё произведение равно нулю. Ноль подходит под «≤ 0», значит x = 4 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 4. Тогда (x − 4)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак не меняется: (x + 5)(x − 3) ≤ 0. Парабола ветвями вверх с корнями −5 и 3 лежит ниже оси между корнями. Получаем −5 ≤ x ≤ 3.

Проверка по точкам для (x + 5)(x − 3)(x − 4)²: при x = 0 → 5·(−3)·16 = −240 < 0 — подходит; при x = 3,5 → 8,5·0,5·0,25 > 0 — не подходит; при x = 5 → 10·2·1 = 20 > 0 — не подходит; при x = −6 → (−1)·(−9)·100 = 900 > 0 — не подходит. Всё сходится.

Итог: отрезок от −5 до 3 вместе с концами и отдельно стоящая точка 4.