Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038404

Слева произведение двух квадратных трёхчленов. Раскрывать скобки не нужно — разложим каждую на линейные множители и посмотрим, нет ли у них общего корня.

Первая скобка. Решаем x² + 3x − 4 = 0: дискриминант D = 3² − 4·1·(−4) = 9 + 16 = 25, √D = 5, корни x = (−3 − 5)/2 = −4 и x = (−3 + 5)/2 = 1. Значит x² + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1).

Вторая скобка. Решаем x² − 6x + 5 = 0: D = (−6)² − 4·1·5 = 36 − 20 = 16, √D = 4, корни x = (6 − 4)/2 = 1 и x = (6 + 4)/2 = 5. Значит x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5).

Собираем неравенство: (x + 4)(x − 1)(x − 1)(x − 5) ≥ 0, то есть (x + 4)(x − 5)(x − 1)² ≥ 0.

Корень x = 1 общий у обеих скобок, поэтому множитель (x − 1) стоит в квадрате. А квадрат не бывает отрицательным: он равен нулю только при x = 1, в остальных точках положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 1. Тогда (x − 1)² = 0, всё произведение равно нулю. Ноль удовлетворяет условию «≥ 0», значит x = 1 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 1. Тогда (x − 1)² > 0, делим обе части на это положительное число, знак не меняется: (x + 4)(x − 5) ≥ 0. Это парабола ветвями вверх с корнями −4 и 5; выше оси она находится вне отрезка между корнями. Получаем x ≤ −4 или x ≥ 5.

Проверка по точкам для (x + 4)(x − 5)(x − 1)²: при x = −5 → (−1)·(−10)·36 = 360 > 0 — подходит; при x = 0 → 4·(−5)·1 = −20 < 0 — не подходит; при x = 1 → 0 — подходит; при x = 3 → 7·(−2)·4 = −56 < 0 — не подходит; при x = 6 → 10·1·25 = 250 > 0 — подходит.

Итог: два бесконечных луча вместе с концами −4 и 5, а между ними — единственная подходящая точка 1.