Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038403

Дано x²/(x − 7) ≤ x. Запомни главное правило: умножать обе части на (x − 7) нельзя, ведь знак этой скобки неизвестен, а при умножении на отрицательное число неравенство переворачивается. Переносим всё влево.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x − 7 ≠ 0, то есть x ≠ 7.

Переносим и приводим к одной дроби:

x²/(x − 7) − x ≤ 0

Общий знаменатель — (x − 7):

(x² − x(x − 7))/(x − 7) ≤ 0

Упрощаем числитель: x² − x·x + 7x = x² − x² + 7x = 7x. Остаётся

7x/(x − 7) ≤ 0

Семёрка положительна, на неё делим обе части — знак сохраняется:

x/(x − 7) ≤ 0

Метод интервалов. Нуль числителя x = 0 входит в ответ (дробь там равна нулю, а «≤» ноль допускает), нуль знаменателя x = 7 — выколот. Проверяем знак на трёх промежутках:

• x = −1: (−1)/(−8) = 0,125 > 0 — не подходит;
• x = 3: 3/(−4) = −0,75 < 0 — подходит;
• x = 8: 8/1 = 8 > 0 — не подходит.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 0: слева 0/(0 − 7) = 0, справа 0, и 0 ≤ 0 — верно. При x = 3: слева 9/(3 − 7) = −2,25, справа 3, и −2,25 ≤ 3 — верно. При x = 8: слева 64/1 = 64, справа 8, и 64 ≤ 8 — неверно, значит 8 правильно не вошло.

Итог: промежуток от 0 до 7, где ноль включён, а семёрка выколота.