Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038402

Дана дробь (2x² − 8x + 8)/(x + 5) ≤ 0. Прежде чем что-то делать со знаками, разложим числитель — здесь он сворачивается в квадрат, и это меняет всю задачу.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x + 5 ≠ 0, то есть x ≠ −5.

Раскладываем числитель. Выносим общий множитель 2: 2x² − 8x + 8 = 2(x² − 4x + 4). В скобке — полный квадрат: x² − 4x + 4 = (x − 2)². Проверим: (x − 2)² = x² − 4x + 4 — верно. Значит числитель равен 2(x − 2)², и неравенство выглядит так:

2(x − 2)²/(x + 5) ≤ 0

Ключевое наблюдение: 2(x − 2)² не бывает отрицательным — двойка положительна, квадрат неотрицателен. Числитель равен нулю только при x = 2, во всех остальных точках строго положителен. Отсюда два случая.

Случай 1: x = 2. Числитель равен нулю, знаменатель 2 + 5 = 7 ≠ 0, значит дробь равна 0. Ноль удовлетворяет условию «≤ 0», поэтому x = 2 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 2 (и x ≠ −5). Числитель строго положителен, поэтому дробь отрицательна ровно тогда, когда отрицателен знаменатель: x + 5 < 0, то есть x < −5.

Проверим по точкам. При x = −6: числитель 2·(−6 − 2)² = 2·64 = 128 > 0, знаменатель −6 + 5 = −1 < 0, дробь равна −128 < 0 — подходит. При x = 0: числитель 2·4 = 8, знаменатель 5, дробь 1,6 > 0 — не подходит. При x = 2: дробь 0 — подходит. При x = 4: числитель 2·4 = 8, знаменатель 9, дробь > 0 — не подходит.

Итог: луч левее −5 (сама точка −5 выколота) и отдельно стоящая точка 2.