Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038401

Дано x²/(x − 5) ≤ x. Главная ловушка здесь одна: умножать обе части на (x − 5) нельзя, потому что знак этого выражения неизвестен, а при умножении на отрицательное число неравенство переворачивается. Значит переносим всё в левую часть.

Область допустимых значений. Знаменатель не равен нулю: x − 5 ≠ 0, то есть x ≠ 5.

Переносим и приводим к одной дроби:

x²/(x − 5) − x ≤ 0

Общий знаменатель — (x − 5), домножаем на него второе слагаемое:

(x² − x(x − 5))/(x − 5) ≤ 0

Раскрываем скобки в числителе: x² − x·x + 5x = x² − x² + 5x = 5x. Получаем

5x/(x − 5) ≤ 0

Пятёрка положительна, на неё можно поделить обе части без смены знака:

x/(x − 5) ≤ 0

Метод интервалов. Нуль числителя x = 0 — точка входит в ответ (дробь там равна нулю, а «≤» ноль допускает). Нуль знаменателя x = 5 — точка выколота. Проверяем знак дроби:

• x = −2: (−2)/(−7) ≈ 0,29 > 0 — не подходит;
• x = 2: 2/(−3) ≈ −0,67 < 0 — подходит;
• x = 6: 6/1 = 6 > 0 — не подходит.

Проверим в исходном неравенстве. При x = 0: слева 0/(0 − 5) = 0, справа 0, и 0 ≤ 0 — верно. При x = 2: слева 4/(2 − 5) ≈ −1,33, справа 2, и −1,33 ≤ 2 — верно. При x = 6: слева 36/1 = 36, справа 6, и 36 ≤ 6 — неверно, значит 6 правильно не вошло.

Итог: промежуток от 0 до 5, где ноль включён, а пятёрка выколота.