Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038400

Дано 1/x ≥ 1/(x − 6). Первое правило для таких неравенств: перемножать «крест-накрест» запрещено. Знаки знаменателей x и x − 6 неизвестны, а умножение на отрицательное число переворачивает неравенство. Действуем через перенос в одну часть.

Область допустимых значений. Знаменатели не равны нулю: x ≠ 0 и x − 6 ≠ 0, то есть x ≠ 6.

Переносим всё влево:

1/x − 1/(x − 6) ≥ 0

Общий знаменатель — x(x − 6). Приводим:

((x − 6) − x)/(x(x − 6)) ≥ 0

Считаем числитель: (x − 6) − x = x − 6 − x = −6. Он оказался просто числом! Получаем

−6/(x(x − 6)) ≥ 0

Умножаем обе части на −1 и переворачиваем знак:

6/(x(x − 6)) ≤ 0

Числитель 6 положителен и нулём не бывает, поэтому знак дроби целиком задаётся знаменателем, а равенства нулю быть не может. Значит нужно строгое неравенство: x(x − 6) < 0.

Решаем его. Слева парабола ветвями вверх с корнями 0 и 6; ниже оси она лежит между корнями. Получаем 0 < x < 6, оба конца выколоты (там знаменатель обращается в нуль).

Проверка в исходном неравенстве. При x = 1: слева 1, справа 1/(1 − 6) = −0,2; 1 ≥ −0,2 — верно. При x = 7: слева ≈ 0,14, справа 1/1 = 1; 0,14 ≥ 1 — неверно, значит 7 правильно не вошло. При x = −1: слева −1, справа 1/(−7) ≈ −0,14; −1 ≥ −0,14 — неверно, тоже исключаем.