Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038399

Слева стоит произведение скобки (5 − x) и разности квадратов. Раскрывать всё подряд не надо — разложим вторую скобку и приведём множители к одному виду.

Разность квадратов: x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5).

Неравенство становится таким: (5 − x)(x − 5)(x + 5) ≥ 0.

Убираем «перевёрнутую» скобку. Ведь 5 − x = −(x − 5). Подставляем:

−(x − 5)(x − 5)(x + 5) ≥ 0, то есть −(x − 5)²(x + 5) ≥ 0.

Умножим обе части на −1, при этом знак неравенства переворачивается:

(x − 5)²(x + 5) ≤ 0

Теперь ключевое: (x − 5)² не бывает отрицательным — он равен нулю ровно при x = 5, а в остальных точках положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 5. Тогда (x − 5)² = 0 и всё произведение равно нулю, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет. Значит x = 5 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 5. Тогда (x − 5)² > 0, и на это положительное число можно поделить обе части, знак сохранится: x + 5 ≤ 0, то есть x ≤ −5.

Проверим в исходном неравенстве (5 − x)(x² − 25) ≥ 0. При x = −6: (5 + 6)·(36 − 25) = 11·11 = 121 ≥ 0 — подходит. При x = 0: 5·(−25) = −125 — не подходит. При x = 5: 0·0 = 0 ≥ 0 — подходит. При x = 8: (−3)·39 = −117 — не подходит.

Итог: весь луч левее −5 вместе с точкой −5 и отдельно стоящая точка 5.