Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038398

Слева произведение двух квадратных трёхчленов. Раскрывать скобки нельзя — будет четвёртая степень. Разложим каждый трёхчлен на линейные множители.

Первая скобка. Решаем x² − 4x − 21 = 0: дискриминант D = (−4)² − 4·1·(−21) = 16 + 84 = 100, √D = 10, корни x = (4 − 10)/2 = −3 и x = (4 + 10)/2 = 7. Значит x² − 4x − 21 = (x + 3)(x − 7).

Вторая скобка. Решаем x² − 9x + 14 = 0: D = (−9)² − 4·1·14 = 81 − 56 = 25, √D = 5, корни x = (9 − 5)/2 = 2 и x = (9 + 5)/2 = 7. Значит x² − 9x + 14 = (x − 2)(x − 7).

Собираем неравенство: (x + 3)(x − 7)(x − 2)(x − 7) ≤ 0, то есть (x + 3)(x − 2)(x − 7)² ≤ 0.

Корень x = 7 у обеих скобок общий, поэтому множитель (x − 7) встал в квадрат. А квадрат не бывает отрицательным: он равен нулю только при x = 7, в остальных точках положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 7. Тогда (x − 7)² = 0 и всё произведение равно нулю. Ноль подходит под «≤ 0», значит x = 7 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 7. Тогда (x − 7)² > 0, делим на него обе части, знак не меняется: (x + 3)(x − 2) ≤ 0. Это парабола ветвями вверх с корнями −3 и 2, ниже оси она находится между корнями. Получаем −3 ≤ x ≤ 2.

Проверка по точкам для произведения (x + 3)(x − 2)(x − 7)²: при x = 0 → 3·(−2)·49 = −294 < 0 — подходит; при x = 4 → 7·2·9 = 126 > 0 — не подходит; при x = 8 → 11·6·1 = 66 > 0 — не подходит; при x = −4 → (−1)·(−6)·121 = 726 > 0 — не подходит. Всё сходится.

Итог: отрезок от −3 до 2 вместе с концами и отдельно стоящая точка 7.