Неравенства — Задание 20 ОГЭ по математике №00038397

Слева произведение (7 − x) и разности квадратов. Раскрывать скобки не надо — наоборот, разложим вторую скобку и посмотрим, что получится.

Раскладываем разность квадратов: x² − 49 = x² − 7² = (x − 7)(x + 7).

Неравенство принимает вид (7 − x)(x − 7)(x + 7) ≥ 0.

Приводим скобки к одному виду. Заметь, что 7 − x = −(x − 7): это та же скобка с обратным знаком. Подставляем:

−(x − 7)(x − 7)(x + 7) ≥ 0, то есть −(x − 7)²(x + 7) ≥ 0.

Умножаем обе части на −1 и переворачиваем знак неравенства:

(x − 7)²(x + 7) ≤ 0

Дальше главное соображение: (x − 7)² не бывает отрицательным. Он равен нулю только при x = 7, во всех остальных точках положителен. Разбираем два случая.

Случай 1: x = 7. Тогда (x − 7)² = 0, всё произведение равно нулю, а ноль условию «≤ 0» удовлетворяет. Значит x = 7 входит в ответ.

Случай 2: x ≠ 7. Тогда (x − 7)² > 0, и на это положительное число можно разделить обе части, знак сохранится: x + 7 ≤ 0, то есть x ≤ −7.

Проверим в исходном неравенстве (7 − x)(x² − 49) ≥ 0. При x = −8: (7 + 8)·(64 − 49) = 15·15 = 225 ≥ 0 — подходит. При x = 0: 7·(−49) = −343 — не подходит. При x = 7: 0·0 = 0 ≥ 0 — подходит. При x = 10: (−3)·51 = −153 — не подходит. Всё сходится.

Итог: луч левее −7 вместе с точкой −7 и отдельно стоящая точка 7.